Originaire de Rueschegg (BE). Né le 7 avril 1962 à Delémont. Fils de Jean Burri, directeur d'agence de voyages, et de Madeleine Burri. Epouse Nicole Burri, employée de commerce. Trois enfants. Catholique.
B. fait d'abord des études à l'Ecole supérieure de commerce de Delémont et obtient son diplôme en 1982. Une année plus tard, il obtient une maturité type E au Lycée cantonal de Porrentruy. B. travaille alors au sein de l'agence de voyages Burri voyages SA à Moutier (1983-1985). Il entreprend plus tard des études de droit à l'Université de Neuchâtel et obtient sa licence en 1989, puis son brevet d'avocat en 1992. Durant ces années de formation, B. effectue différents stages (Tribunal de Moutier, Tribunal et Préfecture de La Neuveville, Ministère public à Neuchâtel, étude de Me Paratte à Neuchâtel) puis pratique son métier d'avocat comme indépendant de 1992 à 1995, tout en enseignant les branches commerciales et l'informatique au centre scolaire Feusi à Bienne. B. est ensuite nommé directeur pour la Région Occidentale de CarPostal Suisse SA et gérant de CarPostal France SARL. Il complète encore sa formation avec une licence de transport passagers et marchandises en 2002 (OFT, Berne). On lui doit notamment la mise en place, en 1997, du système de bus à la demande de PubliCar en Ajoie et la mise en route du premier car de transport public à deux étages pour la ligne du Val Terbi, en 1998. Il joue aussi un rôle important dans le développement du transport urbain en ville de Delémont de 1995 à 2005 (PubliCar urbain, navette hôpital). En septembre 2018, après qu’un scandale ébranle CarPostal Suisse concernant l’utilisation de millions de subventions indus, B. est licencié par CarPostal Suisse ainsi que CarPostal France et libéré de toutes ses fonctions en raison de la réorganisation en cours. Membre du Parti démocrate-chrétien PDC, B. est conseiller de ville à Delémont (élu en 1997 et 2001) et député au Parlement jurassien (élu en 2002, 2006 et 2010), dont il est nommé président en 2011. Il y est membre de la Commission de l'éducation (2004-2006) et préside la Commission de la Justice et des Pétitions (depuis 2004). Parmi ses principales interventions parlementaires, on peut mentionner la motion sur la suppression de l'imposition du conjoint survivant (2003) et le postulat sur l'uniformisation des heures d'ouverture des commerces dans le Jura (2004). Lors des élections fédérales de 2011, il est candidat au Conseil national.
En Septembre 2016, il est élu président du PDC Jura. Il démissionne en février 2018 car il souhaite pouvoir consacrer davantage de temps à son travail.
Membre du Conseil d'administration de la SAPJV à L'ISLE (VD) -entreprise de transport-, président des Conseils d'administration de CarPostal Bourg-en-Bresse SAS, CarPostal Haguenau SAS et CarPostal Obernai SAS. En décembre 2015, il est élu président de la Commission de conciliation en matière de baux à loyer et à ferme de Delémont.
En 2007, B. obtient l'Oscar du développement d'entreprise suisse en France, par la chambre du commerce franco-suisse.